数学A · UNIT GUIDE

場合の数と確率

定義から解法、演習、動画までを一つの順序で確認します。

この単元で身につけること

順列・組合せで場合の数を整理し、独立な試行・反復試行・条件付き確率・期待値を、どの公式がどの状況に対応するかを判断して使えるようになる。

{}_n\mathrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!},\quad {}_n\mathrm{C}_r=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}

並べる(順序あり)なら P、選ぶだけ(順序なし)なら C。C は P を r! で割ったもの。

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\quad P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)

「A が起こったとき」は分母を A に絞る。乗法定理は樹形図の枝の積そのもの。

P(A\cap B)=P(A)\,P(B)

一方の結果が他方の確率を変えないとき積で求められる。排反(同時に起こらない)とは別の概念。

{}_n\mathrm{C}_r\,p^r(1-p)^{n-r}

同じ試行を n 回繰り返してちょうど r 回成功する確率。成功の位置の選び方 × 1 つの並びの確率。

E(X)=\sum_k x_k\,P(X=x_k)

値 × 確率の総和。くじや得点の「平均的な結果」。確率の合計が 1 であることを先に確認する。

「委員長と副委員長」は順序あり、「代表 2 人」は順序なし。迷ったら具体例を 1 つ書いて、入れ替えたものが別の結果になるかを確かめる。

袋を選ぶ → 玉を取り出す、のように段階がある試行は、枝ごとの確率の積を書き、目的の事象に至る枝を足す。条件付き確率はその中の一部の枝の割合。

回数 n、成功回数 r、1 回の成功確率 p を確定し、組合せ・成功の累乗・失敗の累乗を別々に書いてから掛ける。「少なくとも」は余事象。

取りうる値を横に、確率を下に書いて表を完成させ、確率の和が 1 であることを確認してから値 × 確率を足す。賞金 0 の行も表に残す。

場合の数と確率は、数B の確率分布(二項分布の期待値・分散)へ直結する。大学入試では、状態を数個に整理して漸化式にする、余事象で退化する場合を数える、対称性で結果を折りたたむ、といった発展形が中心になる。

出題傾向は公式公開問題の構造分析を自分の言葉で要約し、問題文・解答の原文は使用していません。