動点との距離の最小値

\vec{a} = (3, 1)

、

\vec{b} = (1, -2)

とする。実数

t

に対して

\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}

とおくとき、

|\vec{p}|

が最小となる

t

の値と、そのときの最小値を求めよ。

この頁は既定のパラメータ(a の x 成分 = 3, a の y 成分 = 1, b の x 成分 = 1, b の y 成分 = -2)での解答例です。

大阪大学 2026年度理系第2問の形式を参考に作成したオリジナル問題です(実際の入試問題ではありません)。

解答

1長さの2乗を t の2次式として平方完成します

$|\vec a+t\vec b|^2=|\vec b|^2t^2+2(\vec a\cdot\vec b)t+|\vec a|^2$
2軸の位置が最小にするパラメータです

$t = -\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2} = -\frac{1}{5}$
32乗の最小値から平方根を取ります

$|\vec p|_{\min} = 3.130495$

この解法は人手で実装し、単体テストで検証しています(自動生成の答案ではありません)。