標本平均の分布

この頁は既定のパラメータ(母平均 μ = 50, 母標準偏差 σ = 12, 標本の大きさ n = 36, 許容幅 d = 3)での解答例です。

解答

• $$E(\bar{X}) = 50$$
• $$\sigma(\bar{X}) = 2$$
• $$P(|\bar{X}-\mu|\le d) \approx 0.8664$$

解説(ステップ)

1. 1標本平均の期待値は母平均に等しく、標準偏差は σ/√n です
   $$E(\bar{X}) = 50,\quad \sigma(\bar{X}) = \frac{12}{\sqrt{36}} = 2$$
2. 2n が大きいとき標本平均は近似的に正規分布に従うので、幅 d を標準偏差で割って標準化します
   $$z = \frac{3}{2} = 1.5$$
3. 3P(|X̄ − μ| ≦ d) = P(−z ≦ Z ≦ z) を正規分布表から求めます
   $$P = 2\times0.4332 = 0.8664$$

この解法は人手で実装し、単体テストで検証しています(自動生成の答案ではありません)。