弦の中点はどこを動くか

この頁は既定のパラメータ(半径 R = 5, A の x 座標 = 2, A の y 座標 = 1)での解答例です。

東京大学 2026年度 理科第3問 の形式を参考に作成したオリジナル問題です(実際の入試問題ではありません)。

解答

• $$\text{軌跡の円の中心} = \left(1,\ \frac{1}{2}\right)$$
• $$\text{半径}\ r = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

解説(ステップ)

1. 1円の中心から弦の中点への線分は弦と垂直なので、内積を0とおきます
   $$\vec{OM}\cdot\vec{AM}=0$$
2. 2座標で平方完成すると、OAを直径とする円になります
   $$(X-\frac p2)^2+(Y-\frac q2)^2=\frac{p^2+q^2}{4}$$
3. 3中心と半径を読み取ります
   $$r = 1.118034$$

この解法は人手で実装し、単体テストで検証しています(自動生成の答案ではありません)。